1.1 Bilangan
Ganjil dan Genap
Kita telah
mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Operasi-operasi
hitung tersebut harus benar-benar kamu pahami karena akan kita gunakan dalam
mempelajari kelipatan dan faktor bilangan. Selain itu juga kita harus menguasai
sifat dari bilangan genap dan bilangan ganjil serta bagaimana cara
mengenalkannya pada anak didik.
1.
Bilangan ganjil dan bilangan genap
Definisi :
·
Bilangan
asli yang tidak habis dibagi dua disebut bilangan ganjil.
·
Bilangan
asli yang habis dibagi dua disebut bilangan genap.
Contoh
a.
3, 5, 7, 9,
11, … adalah bilangan ganjil, sebab tidak habis dibagi dua, karena jika dibagi
dua menghasilkan sisa satu.
b.
4, 6, 8,
10, 12, …adalah bilangan genap, sebab habis dibagi dua, atau jika dibagi dua
hasilnya nol
Dari keadaan di atas kita dapat
menyimpulkan bahwa:
I.
Bilangan
ganjil adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk 2k+1,dimana k adalah
bilangan cacah.
II.
Bilangan
genap adalah bilangan yang dapat di tulis dalam bentuk 2k, dimana k adalah
bilangan cacah.
Contoh
a)
5= 2x2+1
jadi 5 adalah bilangan ganjil.
b)
7= 2x3+1
jadi 7 adalah bilangan ganjil.
c)
19=
2x9+1 jadi 19 adalah bilangan ganjil.
d) 2= 2x1 jadi 2 adalah bilangan genap.
e)
8= 2x4
jadi 8 adalah bilanhan genap.
f)
26=
2x13 jadi 16 adalah bilangan genap.
2. Sifat
bilangan ganjil
Setelah
mengenalkan kepada siswa tentang jenis bilangan ganjil dan genap, selanjutnya
anda dapat mengenal beberapa sifat dari bilangan tersebut.
Perhatikan
penjumlahan tersebut:
3 + 7 = 10
1 + 5 = 6
13 + 25 =
38
17 + 13 =
30
Bilangan –
bilangan apakah yang terletak di ruas kiri (di sebelah kiri tanda sama dengan)
dan bilangan- bilangan apakah yang terletak di ruas kanan (di sebelah kanan
tanda sama dengan)? Kepada siswa anda dapat menjelaskan secara induktif dengan
beberapa contoh seperti diatas dan kemudian menyimpulkan bahwa jumlah dua
bilangan ganjil adalah bilangan genap.
Teorema 5.1
Jumlah dua
bilangan ganjil adalah genap.
Bukti:
Misalkan p
dan q masing masing bilangan ganjil, akan dibuktikan bahwa p+q merupakan
bilangan genap. Karena p dan q bilangan ganjil maka terdapat bilangan cacah k
dan h sehingga,,
p = 2k + 1
q = 2h + 1
jadi, p+q =
(2k + 1) +(2h + 1)
= 2k + 2h + 2
= 2 (k + h + 1)
Karena k, h, dan 1 bilangan cacah maka k + h + 1 juga bilangn
cacah, sehingga p+q merupakan kelipatan
dua dari satu bilangan cacah. Jadi, p+q merupakan bilangan genap.
Teorema 5.2
Hasil kali
dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.
Bukti :
Misal p
bilangan ganjil maka ada bilangan asli k sehingga p = 2k + 1, dan misal q
bilangan ganjil maka ada bilangan asli h sehingga q = 2h + 1. Sehingga
pxq= (2k +
1)(2h + 1)
= 4kh + 2k + 2h + 1
= 2 (2kh + k + h) + 1
Karena 2(2kh + k + h)
bilangan genap (mengapa??), maka 2(2kh + k + h) + 1 merupakan bilangan ganjil.
Dengan demikian teorema terbukti.
1.2 Kelipatan
Suatu Bilangan
Perhatikan garis bilangan berikut.
0 … 1 … 2 … 3 … 4 … 5 … 6 … 7… 8 … 9 … 10 … 11 … 12 …
Kita melompat tiga-tiga sebanyak empat kali dari 0 sampai 12,
dengan masing-masing lompatan sejauh tiga satuan. Ini berarti 12 = 4 x 3 , oleh
karena itu dikatakan bahwa 12 adalah kelipatan dari 3.
Demikian juga dari 0 kita dapat melompat tiga-tiga sbanyak 5
kali untuk dapat sampai ke-15. Jadi, 15 = 3 x 5, yang berarti 15 adalah
kelipatan dari 3.
Tetapi, 6 jua kelipatan tiga , sebab dari 0 kita dapat
melompat tiga-tiga sebanyak dua kali untuk sampai di 6, yang berarti 6 = 2 x 3
Ini berarti kelipatan 3 itu tidak tunggal, melainkan sangat
banyak dan tak terbatas.
Definisi 1.1
Misal a bilangan asli.
Bilangan asli c disebut
kelipatan dari a, jika terdapat terdapat bilangan asli k sedemikian
hingga c =ka
Contoh
12 adalah kelipatan dari 3, sebab 12 = 4 x 3
12 adalah kelipatan dari 6, sebab 12 = 2 x 6
15 adalah kelipatan dari 5, sebab 15 = 3 x 5
15 adalah kelipatan dari 3, sebab 15 = 5 x 3
Definisi diatas dapat juga dirumuskan dalam bentuk lain,
yaitu :
Definisi
1.2
Bilangan
asli c disebut kelipatan dari bilangan asli a, jika a membagi habis c.
Contoh
12
adalah kelipatan 3 sebab 12 : 3 = 4 ( jadi 12 habis dibagi 3 )
18
adalah kelipatan dari 9 sebab 18 : 9 = 2 ( jadi habis dibagi 9 )
Catatan :
Yang dimaksud dengan habis dibagi disini adalah jiaka suatu
bilangan dibagi dengan bilangan lain hasilnya adalah bilangan asli dan sisanya
nol , misalnya 12 : 6 = 2. Hal ini berarti 12 habis dibagi 6, atau 6 habis
membagi 12.
Sebaliknya jika kita akan mencari kelipatan suatu bilangan
maka kita cukup mengalikan bilangan tersebut dengan suatu bilangan asli.
Misalnya
:
Kelipatan
dari 7 adalah :
7 x
2 =14
7 x
3 = 21
7 x
4 = 28
7 x
11 = 77
Dan
sebagainya
Jadi,
14,21,28,77 adalah kelipatan 7.
Untuk
menanamkan konsep bilangan ini, anda dapat menggunakan garis bilangan seperti
contoh diatas, tetapi anda juga dapat menggunakan lidi atau kelereng atau benda
laian yang mudah didapat.
Misalnya, siswa ditugasi mengambil kelereng sebanyak 14
butir. Kemudian mereka diminta untuk mengelompokan kelerengnya, misalnya
menjadi kelompok dua-dua. Ternyata 14 kelereng tersebut dapat dibuat menjadi 7
kelompok dua-dua. Ini berarti 14 merupakan kelipatan 2. Dengan cara seperti itu
anda dapat menguasai siswa sehingga siswa dapat menemukan bahwa suatu bilangan
yang ditentukan merupakan kelipatan dari bilangan yang lain.
Setelah itu ajak siswa anda untuk berpikir secara abstrak, yaitu tanpa menggunakan alat
peraga siswa diminta mencari suatu bilangan yang kelipatannya merupakanbilangan
yang telah diketahui , yaitu menggunakan sifat perkalian dasar bilangan.
Misalnya, siswa diminta menuliskan perkalian dua bilangan yang hasil kalinya 24
untuk menyelesaikan soal seperti : 24 merupakan kelipatan dari …
Kemudian kalimat perkalian dua bilangan yang terjadi
dikaitakan dengan pengertia kelipatan suatu bilangan yang sedang dipelajari
siswa dan dinyatakan sebagai berikut.
24=
4 x 6, jadi 24 adalah kelipatan dari 6
24=
6 x 4, jadi 24 adalah kelipatan dari 4
24=
3 x 8, jadi 24 adalah kelipatan dari 8
Dan
seterusnya
Jangan
lupa bahwa suatu bilangan merupakan kelipatan dari dirinya sendiri , misalnya :
8
adalah kelipatan dari 8 , sebab 8 = 1 x 8
7
adalah kelipatan dari 7 , sebab 7 = 1 x 7
1.3 Kelipatan
Persekutuan Dua Bilangan
Pada kegiatan belajar 1 anda telah
mengenal konsep kelipatan dari suatu bilangan. Pada kegiatan belajar 2 ini anda
diminta mengidentifikasikan menentukan kelipatan persekutuan dari dua bilangan.
Langkah yang dapat dilakukan adalah :
·
Tentukan
kelipatan bilangan yang pertama secara berurutan mulai dari kelipatan yang
paling kecil.
·
Tentukan
kelipatan bilangan yang kedua juga secara berurutan, dan mulai dari paling
kecil.
·
Pilih
bilangan yang sama dari kedua kelompok kelipatan tadi, dan urytkan dari yang
paling kecil
Contoh
a.Tentukan
kelipatan persekutuan dari bilangan 3 dan
4
Penyelesaian
Kelipatan
dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27, …
Kelipatan dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28,32,36, …
Jadi,
kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah:
12,24,
…
Karena banyaknya kelipatan dari suatu bilangan itu banyak
sekali maka sebaiknya anda menentukan berapa banyak kelipatan suatu bilangan
yang harus dicari sehingga dapat menjawab pertanyaan yang diajukan.
b.Tentukan kelipatan persekutuan dar 4 dan 6 dengan lebih
dahulu menentukan kelipatan dari 4 dan 6 masing-masing sebanyak 10 buah.
Penyelesaian :
Kelipatan
dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40
Kelipatan
dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36,42,48,54,60
Jadi
kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12,24,36, …
Setelah melakukan hal serupa untuk beberapa pasang bilangan ,
anda dappat memperhatikan pola urutan bilangan kelipatan persekutuan yang
didapat sehingga anda dapat menentukan bilangan urutan berikutnya.
Misal dari pola kelipatan persekutuan bilangan 4 dan 6 yang
didapat diatas, yaitu 12,24,36, …
Coba perhatikan selisih antara dua bilangan yang berdekatan.
Selisihnya adalah 12 sehingga urutan berikutnya adalah 48, 60 dan seterusnya
bertambah 12.
Dengan demikian kelipatan persekutuan 4 dan 6 adalah
12,24,36,48,60,72, …
c.
tentukan kelipatan persekutuan dari 3 dan 5 sebanyak 5 buah.
Penyelesaian:
Kelipatan
dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36
Kelipatan
dari 5 adalah :5,10,15,20,25,30,35
Kelipatan
persekutuan dari 5 dan 3 adalah 15,30,45,60,75
Penjelasan
Karena pada mulanya sudah didapat kelipatan persekutuannya 15
dan 30, sedang yang diminta sebanyak 5 buah maka tinggal melengkapinya dengan
memperhatikan selisih dua bilangan yang telah didapat itu.
Langkah serupa dapat dilakukan jika kita diminta untuk
menentukan kelipatan persekutuan dari tiga bilangan atau lebih.
d.
tentukan kelipatan persekutuan dari 3,4, dan 6.
Kelipatan
dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27, …
Kelipatan
dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28, …
Kelipatan
dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36, …
Jadi
, kelipatan persekutuan dari 3,4 , dan 6 adalah :12,24,36,48,60, …
Penjelasan
Karena kelipatan persekutuan yang didapat adalah 12 dan 24
yang mempunyai selisih 12, maka pastilah urutan berikutnya adalah 36,48 dan
seterusnya.
e.Tentukan
keliptan persekutuan dari 6,8,12.
Penyelesaian
Kelipatan
dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36,42,48,…
Kelipatan
dari 8 adalah 8,16,24,32,40,48, …
Kelipatan
12 adalah 12,24,48,60, …
Jadi
kelipatan persekutuan dari 6,8, dan 12 adalah 24,48,72,96,120, …
Dari beberapa contoh diatas terlihat bahwa jika dua bilangan
yang akan dicari kelipatan persekutuannya , yang satu merupakan kelipatan dari
yang lain, ternyata bilangan kelipatan dari bilangan yang lebih besar juga merupakan
kelipatan dari bilangan yang lebih kecil. Yaitu jika a,c dan k bilangan asli
dan c = ka maka keliptan dari c juga merupakan kelipatan dari a
Misalnya:
Kelipatan
dari 6 juga merupakan kelipatan dari 3
Kelipatan
dari 8 juga merupakan kelipatan dari 4
Kelipatan
dari 12 juga merupakan kelipatan dari 6
Tetapi
tidak berlaku sebaliknya
Kelipatan
dari 6 belum tentu merupakn kelipatan dari 12
Kelipatan
dari 4 belum tentu merupakan kelipatan dari 8
Misalnya:
18
merupakan kelipatan dari 6 , tetapi bukan kelipatan dari 12
28
merupakan kelipatan dari 4 , tetapi bukan kelipata dari 8.
1.4 Faktor
Suatu Bilangan
Selain kelipatan, setiap
bilangan juga mempunyai faktor. Apakah yang disebut faktor? Bagaimana cara
menentukannya? Mari kita pelajari bersama.
1. Menentukan
Suatu Faktor Bilangan
Bila suatu bilangan asli A habis
dibagi bilangan asli B dan hasilnya adalah C, maka B disebut faktor dari A,
sebab A = C x B. Karena perkalian memenuhi sifat komutatif, maka A = B x C atau
A : C = B. Dengan demikian C juga merupakan faktor dari A. Jadi jika A = B x C,
maka B dan C adalah faktor dari A.
Mari kita perhatikan
pembagian di bawah ini.
6 : 1 = 6
6 : 2 = 3
6 : 3 = 2
6 : 6 = 1
Ternyata bilangan 6
habis dibagi oleh bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6.
Dengan cara lain dapat
dituliskan sebagai berikut.
6 = 1 × 6
6 = 2 × 3
6 = 3 × 2
6 = 6 × 1
Karena 6 diperoleh dari
hasil kali 1x6, 2x3, 3x2, dan 6x1, maka faktor dari 6 adalah 1,2,3, dan 6. Bila
ditulis dalam bentuk himpunan, maka himpunan faktor dari 6 adalah {1,2,3, 6}.
Menentukan faktor dari
suatu bilangan dapat dilakukan dengan beberapa cara. Cara berikut adalah dengan
menggunakan kotak perkalian/ petak perkalian. Sepasang bilangan pada
petak-petak yang berpasangan hasil kalinya adalah bilangan yang akan ditentukan
faktornya. Berikut di bawah ini.
Bilangan-bilangan 1, 2,
3, dan 6 disebut faktor dari bilangan 6.
2 adalah faktor dari 6,
sebab 2 habis membagi 6.
Dari pembahasan
di atas, Kalian dapat menyimpulkan pengertian faktor dari suatu bilangan.
Faktor adalah pembagi dari suatu
bilangan, yaitu bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan tersebut.
Oleh karena itu, untuk
mencari faktor dari semua bilangan, dan suatu bilangan adalah faktor dari
dirinya sendiri.
Contoh :
Tentukan faktor dari
bilangan 8 dan 9
Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8
Faktor dari 9 adalah 1, 3, 9
Berdasarkan
contoh diatas, bahwa 8, merupakan kelipatan dari 1, 2, 4, dan 8. Hal ini
berarti1, 2, 4, dan 8 adalah faktor dari 8.
Secara umum
dapat dkatakan bila x merupakan kelipatan dari A, B, C, dan D, maka himpunan
faktor dari x adalah {A, B, C, D}.
1.5 Faktor
Persekutuan Dua Bilangan
Seperti yang telah kita ketahui Faktor suatu bilangan adalah
sebuah bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut. Jadi, Faktor
persekutuan dari dua bilangan adalah bilangan-bilangan yang merupakan faktor
dari kedua bilangan tersebut atau dengan kata lain Faktor persekutuan merupakan
faktor yang sama dari 2 bilangan atau lebih.
sebagai contoh :
·
Tentukan
faktor persekutuan dari 5 dan 10 !
Jawab :
-
Faktor dari
5 adalah 1, 5.
-
Faktor dari
10 adalah 1, 2, 5, 10.
-
Terdapat
bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 5 dan
10, yaitu 5.
-
Dikatakan
bahwa 5 adalah faktor persekutuan dari 5 dan 10.
-
Jadi,
faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.
·
Tentukan
faktor persekutan dari 6 dan 15 !
Jawab :
- Faktor dari 6 adalah 1,
2, 3, 6.
- Faktor dari 15 adalah 1,
3, 5, 15.
- Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari
6 dan 15, yaitu 1 dan 3.
- Dikatakan bahwa 1 dan 3 adalah faktor persekutuan dari 6 dan 15.
- Jadi, faktor persekutuan dari 6 dan 15 adalah 1 dan 3.
·
Tentukan
faktor persekutuan dari 12 dan 20 !
Jawab :
- Faktor dari 12 adalah 1,
2, 3, 4, 6, 12.
- Faktor dari 20 adalah 1,
2, 4, 5, 10, 20.
- Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari
12 dan 20, yaitu 1, 2 dan 4.
- Dikatakan bahwa 1, 2 dan 4 adalah faktor persekutuan dari 12 dan
20.
- Jadi, faktor persekutuan dari 12 dan 20 adalah 1, 2, dan 4.
1.6 Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang
mempunyai tepat dua faktor positif yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
- Cara Mengidentifikasi Bilangan Prima
Pada abad II sebelum Masehi, seorang
matematisi bangsa Greek yang bernama Erastothenes, menemukan cara untuk
menemukan bilangan prima. Cara yang ditemukan itu selanjutnya dusebut saringan
Eristothenes, yang bentuknya sebagai berikut.
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
52
|
53
|
54
|
55
|
56
|
57
|
58
|
59
|
60
|
61
|
62
|
63
|
64
|
65
|
66
|
67
|
68
|
69
|
70
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
77
|
78
|
79
|
80
|
81
|
82
|
83
|
84
|
85
|
86
|
87
|
88
|
89
|
90
|
91
|
92
|
93
|
94
|
95
|
96
|
97
|
98
|
99
|
100
|
Susunlah
bilangan asli dari 1 sampai dengan 100 menjadi bentuk persegi
Dari
susunan bilangan diatas, kemudian :
a. Coretlah
bilangan 1;
b. Coretlah
semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2;
c. Coretlah
semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3;
d. Dari
langkah b dan c, semua bilangan yang merupakan kelipatan 4,6,8, dan 9 dengan
sendirinya sudah ikut tercoret.
e. Coretlah
semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5;
f. Coretlah
semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7.
Langkah ini diteruskan, sampai semua bilangan yang mempunyai pembagi
selain dirinya dan 1 tercoret semuanya. Maka, bilangan yang tidak tercoret
merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 100, yaitu : 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, …, 97
- Cara mengidentifikasi Bilangan Prima Secara Umum
Misal diketahui bilangan p kurang
dari 100. Untuk mengetahui apakah p merupakan bilangan prima atau bukan, secara
umum dapat diidentifikasi sebagai berikut.
a. p
adalah bilangan ganjil, kecuali 2
b. p
tidak merupakan angka kembar, misalnya 33, 77, 55, 99, bukan bilangan prima
c. jumlah
angka-angka yang membentuk p bukan kelipatan 3, misalnya 21, 27, 63, 273, bukan
bilangan prima
d. angka
terakhir dari p bukan 5, misalnya 35, 75, 95, 365 buakn bilangan prima
e. bukan
bilangan kuadrat, misalnya 25, 49, 81 bukan bilangan prima.
Contoh :
37 adalah bilangan prima, sebab memenuhi kriteria di atas
25 bukan bilangan prima, sebab angka terakhirnya 5
99 bukan bilangan prima, sebab merupakan bilangan kembar
73 bilangan prima, sebab memenuhi kriteria diatas
69 bukan bilangan prima, sebab 6 + 9 = kelipatan 3
49 bukan bilangan prima, sebab bilangan kuadrat
Tetapi kita perlu
berhati-hati dengan cara identifikasi di atas, sebab bilangan 91 walaupun
memenuhi kriteria di atas tetapi 91 bukan bilangan prima.
Pada tahun
1963 ditemukan bilangan prima terbesar sampai saat itu, yaitu 211213_1,
dan tahun 1971 ditemukan lagi bilangan prima yang lebih besar, yaitu 219937_1.
Bilangan prima terakhir ini merupakan bilangan prima terbesar
sampai saat ini.
Beberapa pakar matematika
telah menemukan rumus fungsi untuk menentukan bilangan prima, namun rumus
tersebut hanya berlaku untuk nilai bilangan asli n yang terbatas.
a. f(n)
= n2 - n + 41 menentukan bilangan prima untuk setiap
bilangan asli n < 41, yaitu :
f(1) = 1 – 1 + 41 = 41
f(6) = 36 – 6 + 41 = 71
f(15) = 225 – 15 + 41 = 251
Rumus
ini tidak berlaku untuk n > 40.
b. f(n)
= n2 – 79n + 1601 juga merupakan rumus untuk mendapatkan bilangan
prima;
Pembelajaran
Untuk mencari bilangan prima
yang lebih kecil dari 100, kita dapat menggunakan saringan Erastothenhes. Saringan
ini, dapat kita modifikasi, agar anak lebih tertarik, bila kita lihat pada
Standar Kompetensi sesuai dengan kurikulum saat ini yaitu KTSP, pembelajaran
faktor bilangan dan kelipatan dipelajari di kelas IV sekolah
dasar, dalam karakteristik perkembangan siswa
di kelas ini, proses kehidupan tumbuhan dan binatang menarik bagi mereka. Kita
dapat membuat alat peraga seperti dibawah :
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
52
|
53
|
54
|
55
|
56
|
57
|
58
|
59
|
60
|
61
|
62
|
63
|
64
|
65
|
66
|
67
|
68
|
69
|
70
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
77
|
78
|
79
|
80
|
81
|
82
|
83
|
84
|
85
|
86
|
87
|
88
|
89
|
90
|
91
|
92
|
93
|
94
|
95
|
96
|
97
|
98
|
99
|
100
|
- Petik daun berangka 1 dari pohon.
- Petik semua daun bilangan kelipatan 2, kecuali 2
- Petik semua daun bilangan
- kelipatan 3, kecuali 3
- Petik semua daun bilangan kelipatan 5, kecuali 5
- Petik semua daun bilangan kelipatan 7, kecuali 7
- Petik semua daun bilangan kelipatan 11, kecuali 11
- Dan seterusnya, kelipatan 13, 17, 19, …
Bilangan
yang tidak terpetik adalah bilangan prima. Selanjutnya tanyakan kepada siswa, mengapa pada langkah
nomor 4, kita tidak memetik bilangan kelipatan 4?, dengan harapan siswa dapat
memberi jawaban bahwa bilangan kelipatan 4 atau 6, telah terpetik pada saat
kita memetik semua bilangan kelipatan 2.Demikian juga kelipatan 10 atau 15
telah terpetik pada saat kita memetik kelipatan 5.
Kitapun
perlu menjelaskan kepada siswa bahwa bilangan yang tidak terpetik tadi adalah
bilangan prima, sedangkan semua bilangan yang terpetik selain 1 adalah bilangan
komposit, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua
bilangan asli yang berbeda dengan dirinya.
1.7 Menentukan Faktor Prima Suatu Bilangan
Cara untuk menentukan faktor prima dari suatu
bilangan adalah dengan diagram pohon (pohon faktor). Aturan untuk menentukan
pohon faktor dari suatu bilangan adalah kita menentukan sepasang bilangan yang
hasil kalinya sama dengan bilangan yang akan dicari faktornya. Karena 1
merupakan faktor dari setiap bilangan maka tidak dituliskan dalam diagram pohon
tersebut.
Contoh :
- Tentukan faktor prima dari 30
Karena 30=2x15 dan 15=3x5, maka
pohon faktor dari 30 adalah
Kita perhatikan 2, 3, 5
pada ujung pohon faktor di atas dan bilangan-bilangan ini adalah bilanagn
prima. Jadi faktor prima dari 30 adalah {2,3,5}
Untuk menentukan faktor dari 30 dapat pula ditentukan sebagai berikut.
Karena 30 = 5x6 dan 6=2x3, maka pohon faktornya adalah
Jadi faktor prima dari 30 adalah {2,3,5}
Bila dibandingkan antara keduanya terletak pada saaat menentukan pasangan
bilangan yang hasil kalinya sama dengan 30. Sebenarnya masih banyak kemungkinan
untuk pohon faktor di atas.
- Faktor prima dari 12.
Karena 12 = 2 x 6 dan 6 = 2 x 3,
maka pohon faktornya adalah :
Jadi faktor prima dari 12 adalah 2, 2 dan 3 pada contoh di atas angka 2
ditulis 2 kali, sebab angka 2 muncul dua kali pada ujung pohon tersebut.
Untuk selanjutnya bila faktor suatu bilangan diperoleh bilangan yang sam,
maka faktornya akan ditulis sebagai bilangan berpangkat. Jadi untuk 2 faktor
prima dari 12 pada contoh di atas menjadi 22 dan 3. Bila di tulis
dalam himpunan adalah {22, 3}
Hubungan
yang perlu kita ketahui dari faktor prima suatu bilangan dengan bilangannya
adalah hasil kali faktor-faktor primanya merupakan bilangan itu sendiri. Untuk
contoh di atas :
30 = 2 x 3 x 5
Secara
singkat yang dibahas dalam tulisan ini adalah hasil kali, faktor dan bilangan
prima. Bila bilangan N merupakan kelipatan A, B, C, dan D, maka faktor dari N
adalah {A, B, C, D}. {A, B, C, D} disebut faktor prima jika { A, B, C, D }
merupakan himpunan bilangan prima (bilangan yang tepat memiliki dua faktor
yaitu bilangan itu sendiri dan satu).
Pohon faktor
atau diagram pohon dapat digunakan untuk menentukan faktor prima dari suatu
bilangan. Faktor prima pada diagram pohon adalah bilangan prima yang terdapat
pada ujung pohon faktor tersebut.
Jika (A, B, C, D) merupakan faktor prima dari
bilangan N, maka pemfaktoran {faktorisasi} dari N adalah A x B x C x D.
DAFTAR
PUSTAKA
Darhim. 1992. Materi Pokok Pendidikan Matematika 2.Jakarta
: Universitas Terbuka, Depdikbud.
Mustaqim, Burhan
dan Astuty, Ary. 2008. Ayo Belajar
Matematika. Jakarta : Aneka Ilmu.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar