Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan adalah
penjumlahan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara terus menerus.
Contoh: Kelipatan dari angka 3
adalah 3, 6, 9, 12, 15, … dst.
KPK (Kelipatan
Persekutuan Terkecil) disebut juga dengan LCM (Least Common Multiple).
KPK adalah kelipatan yang sama dan terkecil antara dua bilangan atau lebih. KPK
antara bilangan a dan b biasa ditulis KPK (a,b) atau LCM (a,b). Contohnya,
KPK(15,20)=60 atau LCM(15,20)=60.
A.
Cara
mencari KPK
1.
Dengan
mencari kelipatan bilangan yang sama dan terkecil
Kelipatan
didapat dengan mengalikan suatu bilangan dengan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya
sampai anda menemukan KPK. Contohnya, kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15,
dan seterusnya.
Contoh:
Carilah KPK antara 15 dan 40.
Kelipatan
dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …
Kelipatan
dari 40 adalah 40, 80, 120, 160,200,
…
Perhatikan
bahwa yang dicetak tebal (bold) merupakan kelipatan yang sama dan
terkecil. Jadi, lcm(15,40)=120.
Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari KPK dari
2 atau 3 bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.
Contoh:Mencari KPK dari
bilangan 147, 189 dan 231:
·
Buat pohon faktor dari
masing-masing bilangan:
147 189
231
/\ /\ /\
3 49 3 63 3 77
/\ /\ /\
7 7
7 9 7 11
/\
3 3
·
Susun bilangan dari
pohon faktor untuk mendapatkan faktorialnya.
Faktorial 147 = 31 x 72
Faktorial 189 = 33
x 71
Faktorial 231 = 31 x 71 x 111
·
Ambil faktor-faktor
yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini 33', 72
dan 111.
·
Kalikan faktor-faktor
tersebut: 33 x 72 x 111 = 14553.
·
Maka KPK dari bilangan
147, 189 dan 231 adalah 14553.
Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat
dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.
2.
Dengan
menggunakan faktorisasi prima
Bilangan prima
adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu
sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.Contoh
Bilangan Prima : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …}
Faktorisasi
Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana
faktornya merupakan bilangan prima.
Contohnya,
faktorisasi prima dari 28 adalah 22x7 atau bisa ditulis 28=22
x 7. Jika sudah mendapatkan faktorisasi prima bilangan-bilangan yang akan
dicari KPK nya, pertama carilah faktor-faktor prima yang sama. Setelah
ditemukan faktor-faktor yang sama, ambil satu saja yang memiliki pangkat
terbesar. Kalikan angka-angka yang kita ambil tadi dengan angka yang tidak
memiliki pasangan faktor yang sama (jika ada) untuk mendapatkan KPK.
Contoh: Carilah kpk
dari 24 dan 60. Pertama-tama carilah dulu faktor-faktor prima dari
masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks.
24 = 23 × 3
60 = 22 × 3 × 5
Kelipatan persekutuan
terkecil (KPK) dari kedua bilangan di atas adalah hasil perkalian setiap faktor
prima yang memiliki pangkat terbesar. Jadi untuk contoh di atas, KPKnya adalah
23 × 3 × 5 = 120.
Untuk mencari faktor prima dari suatu bilangan dapat dilakukan juga
dengan tabel atau pohon faktor.
a.
Dengan
tabel
Tentukan faktor prima dari 36
Penyelesaian:Faktorisasi dari 36 adalah
36
|
36
|
18
|
12
|
9
|
6
|
1
|
2
|
3
|
4
|
6
|
Jadi,
faktor prima dari 36 adalah 2 dan 3.
b.
Dengan
pohon faktor
Untuk mencari
faktor prima suatu bilangan, lebih mudah jika dilakukan dengan pohon faktor,
yaitu dengan cara membagi bilangan tersebut dengan suatu bilangan prima
terkecil yang mungkin, dan hasil baginya kemudian dibagi dengan bilangan prima
terkecil yang mungkin, seterusnya sampai hasil terakhir yang didapat adalah
bilangan prima. Susunan pembagian-pembagian tadi diurutkan ke bawah.
Contoh soal: Mencari faktor prima dari 140
140
/\
2
70
/\
2 35
/\
5
7
Karena hasil akhirnya sudah bilangan prima maka pekerjaan kita
selesai. Jadi faktor prima dari 140 adalah 2, 5, dan 7. Hasil akhirnya: 140=
2².5.7
3.
Pembagian dengan bilangan prima
Pertama-tama, bagilah
kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
2
|
24 60
|
12 30
|
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai kita mempunya semua
bilangan prima di sebelah kiri dan di bagian bawah.
2
|
24 60
|
2
|
12 30
|
3
|
6 15
|
2 5
|
KPKnya adalah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.
B. Peragaan
Diawal
pertemuan, siswa diminta melakukan kegiatan sederhana yaitu bertepuk tangan
bersama-sama di setiap kelipatan dari 3 lalu dilanjutkan ke kelipatan 4.
Kemudian siswa dibagi menjadi 2 kelompok A dan B. Kelompok A adalah kelompok
yang bertepuk tangan di setiap kelipatan 2, dan kelompok B adalah kelompok yang
bertepuk tangan di setiap kelipatan 3. Hitungan dimulai dari 1 – 24.
Di akhir
kegiatan ini, siswa menyadari bahwa ada beberapa kali dimana kedua kelompok
tersebut bertepuk tangan bersamaan, yaitu di hitungan ke-6, ke-12, ke-18 dan di
hitungan ke-24. Siswa diminta menuliskan hasilnya didepan kelas. Berikut ini,
merupakan langkah-langkah yang diambil dalam proses pembelajaran KPK,
menggunakan permainan “tepuk bergilir”:
1. Memberikan
masalah kontekstual yang realistik sebagai upaya mengenalkan konsep kelipatan.
Contoh: guru memberikan permainan “tepuk bergilir”, dengan aturan, guru selaku
juri, menyebutkan angka satu sampai tiga puluh secara berurutan di depan kelas
dan setiap angka yang guru sebutkan merupakan angka kelipatan dari 2 (dalam hal
ini, siswa sudah mengenal kelipatan terlebih dahulu), maka siswa harus
melakukan tepuk tangan sebanyak satu kali.
2. Tahap
pemecahan masalah dan menemukan konsep kelipatan. Pada tahap ini, para siswa,
dengan bantuan guru diarahkan untuk dapat mengikuti permainan ini, tanpa
melakukan kesalahan. Pada awal-awal permainan, banyak siswa yang melakukan
kesalahan terutama pada saat kelipatan-kelipatan, yang melebihi angka 3;
misalnya, kelipatan 4, 5, dst. Untuk itu, guru memperbolehkan siswa, terlebih
dahulu mendata angka-angka yang merupakan kelipatan dari angka yang diminta.
Sehingga, saat melakukan permainan, tidak melakukan kesalahan.Selanjutnya, guru
meningkatkan tingkat kesulitan permainan, dengan membagi kelas menjadi 2
kelompok, dimana kelompok yang pertama, melakukan tepuk tangan pada angka-angka
yang merupakan kelipatan dari 2 dan kelompok kedua, melakukan tepuk tangan pada
angka-angka yang merupakan kelipatan dari 3.
3. Tahap
diskusi. Pada tahap ini, setelah melakukan permainan, para siswa diarahkan
untuk mendiskusikan permainan diatas, dengan menanyakan kapan mereka melakukan
tepuk tangan secara bersamaan dan bagaimana mereka mendata kelipatan dari
angka-angka yang diminta.Guru menemukan upaya siswa dalam mendata kelipatan
dari angka-angka yang diminta, adalah sebagai berikut:
- Siswa,
mengurutkan angka, mulai dari yang terkecil (angka kelipatan yang diminta),
kemudian melakukan perkalian 1 sampai 10, terhadap angka kelipatan yang
diminta. Kemudian, melingkari angka-angka yang sama dari kedua kelipatan yang
diberikan.
- Siswa,
mengurutkan angka, mulai dari yang terkecil (angka kelipatan yang diminta),
kemudian melakukan penambahan sejumlah angka kelipatan yang diminta sebanyak 10
kali. Kemudian, melingkari angka-angka yang sama dari kedua kelipatan yang
diberikan.
4. Tahap
refleksi. Pada tahap ini, anak-anak diajak merefleksikan apa yang telah
dikerjakan dan apa yang telah dihasilkan, dengan menyampaikan dan menuliskan
pendapatnya di depan kelas. Disini, para siswa sangat antusias dalam
menyampaikan pendapatnya, walaupun ada satu orang yang melakukan kesalahan,
guru selaku pengajar, tidak langsung mengatakan itu sebagai suatu kesalahan,
tapi guru menanyakan (baca: mendiskusikan) kepada siswa yang lain, mengenai
jawabannya dan akhirnya, dia bisa menyadari kesalahan yang dia buat dengan
sendirinya.
5. Tahap
selanjutnya adalah membantu siswa mengaitkan permainan tepuk tangan secara
bersamaan yang pertama kepada konsep kelipatan dan kedua kepada konsep
persekutuan, selanjutnya dari kedua pemahaman tersebut, guru menggiring siswa
untuk mencari angka terkecil dari angka persekutuan yang telah mereka data.
Perlu diketahui, dalam pembelajaran ini, semua istilah diatas, mulai dari
Kelipatan, Persekutuan, dan Terkecil (baca: KPK), diketemukan oleh siswa
sendiri. Guru selaku pengajar, hanya menggiring mereka ke arah sana, dengan
permainan diatas.
6. Tahap akhir,
anak-anak diajak untuk mengembangkan, memperluas, dan meningkatkan hasil-hasil
dari pemahaman mereka, dengan mengerjakan beberapa soal-soal yang ada di buku
panduan mereka, dan hasilnya, mereka dapat dengan cepat mengerjakannya.
Kesimpulan
Berdasarkan
atas kegiatan yang guru lakukan diatas, guru dapat menarik kesimpulan sebagai
berikut:
1.
Awalnya, siswa mengalami kesulitan dalam
mengikuti permainan “tepuk bergilir”. Akan tetapi, setelah mereka mendata
terlebih dahulu, setiap kelipatan dari angka yang diberikan, mereka bisa dengan
mudah mengikuti permainan tersebut tanpa melakukan kesalahan.
2.
Permainan tersebut membuat mereka lebih
memahami konsep kelipatan. Ini dikarenakan sifat dasar anak-anak yang lebih
mudah memahami suatu pelajaran dengan cara bermain atau bisa dikatakan dengan
bermain sambil belajar.
3.
Setelah para siswa memahami konsep kelipatan,
guru dapat dengan mudah memandu mereka mengenal apa itu persekutuan,
selanjutnya mencari KPK. Dengan pemahaman konsep yang mereka bangun sendiri,
mereka dapat dengan mudah menyelesaikan soal-soal yang ada di dalam buku
panduan mereka.
4.
Permainan “tepuk bergilir” dapat meningkatkan
pemahaman siswa dalam pembelajaran KPK.
Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor merupakan angka-angka yang dapat membagi suatu bilangan. Sedangkan
FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, disebut juga dengan GCD (Great Common Divisor), yaitu faktor-faktor atau angka-angka pembagi yang sama dan terbesar antara dua bilangan atau lebih.
Faktor pembagi adalah : Angka-angka yang dapat membagi suatu bilangan. Misalnya: faktor pembagi dari angka 10
adalah (cari angka yang dapat membagi angka tersebut) 1, 2, 5, 10. Lihat : faktor pembagi angka 10 = 1, 2, 5,
10 (angka 10 dapat dibagi angka 1, angka 10 dapat dibagi angka 2, angka 10
dapat dibagi angka 5, dan angka 10 dapat dibagi oleh angka 10).
FPB antara bilangan a dan b biasa ditulis FPB(a,b) atau GCD(a,b).
Contohnya, FPB(15,45)=15 atau GCD(15,45)=15.
A.
Cara
Mencari FPB
1.
Dengan mencari semua faktor-faktor bilangan yang sama dan terbesar
Faktor-faktor
bilangan didapat dengan mencari semua perkalian dua bilangan yang menghasilkan
bilangan tersebut.
Contoh:Carilah FPB antara 25 dan 40.
Bilangan 25
didapat dari hasil perkalian (1 x 25) dan (5 x 5). Jadi, faktor dari 25 adalah
1, 5, dan 25.
Bilangan 40
didapat dari hasil perkalian (1 x 40), (2 x 20), (4 x 10), dan (5 x 8). Jadi,
faktor dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40.
Perhatikan
faktor-faktor bilangan 25 dan 40. Didapat bahwa yang merupakan faktor yang sama
dan terbesar adalah 5. Jadi, GCD(25,40)=5.
2.
Dengan
menggunakan faktorisasi prima.
Pertama,
cari faktor prima dari bilangan-bilangannya. Jika sudah mendapatkan faktorisasi
prima bilangan-bilangan yang akan dicari FPB nya, maka carilah faktor-faktor
prima yang sama, ambil saja salah satunya yang memiliki pangkat terkecil.
Kalikan angka-angka yang kita ambil tadi untuk mendapatkan FPB.
Contoh: Carilah FPB antara 25 dan 40.
25=52
40=23 .5
40=23 .5
Perhatikan
bahwa faktor prima yang sama adalah 5. Perhatikan pangkatnya. 5 berpangkat 1,
sedangkan 52 berpangkat 2.
Karena 1 < 2, jadi diambil 5. Karena tidak ada lagi faktor-faktor prima yang
sama, maka GCD(25,40)=5
3.
Pembagian dengan bilangan prima
Pertama-tama, bagilah
kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya.
Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
2
|
24 60
|
12 30
|
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai tidak ada lagi bilangan
prima yang dapat membagi bilangan yang ada di sebelah kanan.
2
|
24 60
|
2
|
12 30
|
3
|
6 15
|
2 5
|
FPBnya adalah 2 × 2 × 3 = 12
4. Algoritma Euclid
Algoritma ini mencari
FPB dengan cara melakukan pembagian berulang-ulang dimulai dari kedua bilangan
yang hendak kita cari FPBnya sampai kita mendapatkan sisa 0 dari hasil
pembagian.
Misalnya untuk contoh kita di atas, 24 dan 60, langkah-langkah yang diambil
untuk mencari FPB dengan Algoritma Euclid adalah sebagai berikut.
·
Bagilah bilangan yang
lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil. Dalam contoh ini, kita bagi 60
dengan 24 dan hasilnya adalah 2 dengan sisa 12.
·
Lalu kita bagi bilangan
yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 12).
Jadi 24 dibagi 12, kita dapatkan hasilnya 2 dan sisanya 0.
·
Karena kita sudah
mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah
FPBnya, yaitu 12.
Marilah kita lihat contoh yang lain, cari FPB dari 40 dan 64.
·
64 ÷ 40 = 1 dengan sisa 24
·
40 ÷ 24 = 1 dengan sisa 16
·
24 ÷ 16 = 1 dengan sisa 8
·
16 ÷ 8 = 2 dengan sisa 0.
Kita berhenti di sini sebab kita sudah mendapat sisa 0. Bilangan terakhir
yang kita gunakan untuk membagi adalah 8, jadi FPB dari 40 dan 64 adalah 8.
Hubungan KPK dan FPB
Jika kita tahu KPK dari
bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung FPBnya dengan menggunakan rumus
berikut ini.
Jika kita tahu FPB dari
bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung KPKnya dengan menggunakan rumus
berikut ini.
Cara mudah
mencari KPK dan FPB
Contoh:
Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 30.
Jawab:
24
= 6×4
30 = 6×5
FPB = 6
KPK = 6 x (4×5)
= 120 (Selesai)
Contoh lain :
Tentukan FPB dan KPK dari 50 dan 75. Jawab:
50 = 25×2
75 = 25x3
FPB = 25
KPK = 25 x
(2×3) = 150 (Selesai)
B. Peragaan
Konsep formal
dari FPB:
1. Real
Situation, tahap pertama, dimana siswa diberikan sebuah masalah yang sangat
umum terjadi di sekitar mereka yaitu membagi dua jenis permen (12 buah permen kopi dan 6 buah permen buah-buahan) kepada beberapa orang
teman. Siswa masih mengalami kesulitan saat harus menentukan jumlah permen yang
harus dibagi dan kepada berapa orang permen tersebut dibagi agar masing-masing
anak mendapatkan jumlah yang sama.
2.Model of
real situation merupakan tahap kedua dari proses kali ini. Siswa dibagi
menjadi beberapa kelompok kecil yang terdiri dari 4 orang siswa. Disini setiap
kelompok diberikan beberapa buah batu kerikil sebagai model dari kedua jenis
permen. Dengan media yang diberikan, siswa menemukan sendiri konsep faktor dari
suatu bilangan, pada kesempatan kali ini faktor dari bilangan 12 dan 6. Siswa membagi
bilangan 12 dengan bilangan 1, 2, 3, …, 12 dan membagi bilangan 6 dengan bilangan 1, 2, 3, …, 6. Pada akhir kegiatan ini siswa menuliskan apa
yang mereka dapat sesuai dengan format yang kelompok mereka telah diskusikan
sebelumnya.
3. Model for
formal mathematics untuk kegiatan ini ialah tabel faktor. Walaupun beberapa
orang siswa sudah dapat menuliskan faktor dari bilangan 12 dan 6 secara
langsung tanpa menggunakan tabel faktor, tabel ini masih sangat dibutuhkan
untuk sebagian besar siswa yang belum mengetahui bahwa faktor dari suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang habis untuk
membagi bilangan itu.Setelah siswa memahami konsep faktor, dengan mudah
siswa menemukan konsep lanjutan yaitu konsep faktor persekutuan dan faktor
persekutuan terbesar (FPB). Sebelum memasuki materi FPB, siswa sudah memahami
konsep FPK. Hal ini secara tidak langsung membantu siswa memahami FPB dengan
cepat.
4. Formal Mathematics, dimana siswa mampu menuliskan FPB
dari bilangan 12 dan 6 dengan benar.
Pertama-tama siswa melingkari bilangan mana saja yang terdapat di dalam barisan
faktor dari bilangan 12 dan juga
terdapat di dalam barisan faktor dari bilangan 6. Pada
akhirnya, siswa menuliskan bilangan terbesar dari kumpulan bilangan yang
dilingkari tersebut.
Kesimpulan
Konsep FPB adalah konsep yang sulit
dipahami siswa jika mereka diharuskan menghapal pengertian dari FPB itu
sendiri. Dengan bermain membagi permen dan kerikil ini, siswa lebih mudah
memahami konsep FPB karena mereka melakukan kegiatan yang berhubungan langsung
dengan kehidupan sehari-hari. Bermula dari masalah situasional yang nyata lalu menuju
kepada formal matematika. Apabila siswa kesulitan mengerjakan soal-soal formal,
mereka dapat kembali ke tahap yang ada di bawahnya yaitu real situation atau
penggunaan model. Kesimpulan yang dapat ditarik dari kegiatan kali ini adalah
permen dan kerikil dapat membantu siswa memahami konsep FPB.
DAFTAR
PUSTAKA
Tidak ada komentar:
Posting Komentar